数学建模

摘要： 本文提出了一种将菌丝体结构与地面上蘑菇子实体的位置联系起来的概率模型，用于分析蘑菇菌丝体的规模。我们假设地形平坦，菌丝体以恒定速率扩散。同时假设地面上蘑菇子实体的位置遵循菌丝体形状决定的均匀分布。基于这些假设，我们将菌丝体定义为以初始孢子位置 (m n) 为中心，半径为 r 的圆形区域。蘑菇子实体位置的分布服从该圆形区域内的均匀分布。 对于圆心位置和半径大小，我们分别提出了三种模型。对圆心位置来说：样本点平均值模型通过直接计算所有蘑菇子实体位置的平均值来估计圆心位置；最远点平均值模型通过计算横纵坐标投影上的最远点的平均值作为对圆心的估计；中位数模型通过分别计算横纵坐标轴上的中位数进行估计。 对半径大小来说：平均值模型通过计算所有样本点距已求得的圆心距离的平均值估计半径；第二种模型中采用了极大似然法对半径进行估计；两端间隔模型则通过考虑半径取值中两端间隔的比例关系计算半径大小。 我们将这些模型结合起来求解原问题。为了选择出更优的模型，我们采用了计算机数值模拟的方法。通过多次的随机模拟试验，考察模型预测结果的平均值、相对平均值的误差和标准差，对模型进行了评价，并据此选出了更好的求解结果。 Keywords: 概率论，数值模拟 简介 背景 蘑菇作为一种广泛存在于自然界的真菌，为人们所熟知。但其除了裸露在地表的子实体部分以外，在地下还拥有着极其庞大的菌丝结构。为了完成对蘑菇的全面详细研究，有必要对菌丝结构这一蘑菇的重要组成部分进行分析和度量。其中尤为重要的，就是确定菌丝结构的位置和范围。但是由于菌丝处于地下且规模巨大，难以通过直接测量得出结果。 问题重述 蘑菇的孢子落到土壤中，不断生长出菌丝。菌丝以相同的速度向外辐射，构成庞大的菌丝菌丝。当环境条件合适时，这些菌丝会生长成裸露在地面的“蘑菇”。现在我们已知地面上属于同一菌丝结构的所有蘑菇的位置，如表 1 和图 1 所示： 序号 横坐标 纵坐标 序号 横坐标 纵坐标 1 21.12 29.84 11 24.81 17.16 2 20.39 11.50 12 41.31 31.77 3 38.52 13.34 13 20.24 15.50 4 33.85 15.47 14 34.63 26.43 5 44.24 21.49 15 42.67 20.42 6 24.87 22.42 16 18.52 14.49 7 46.32 26.41 17 17.09 25.83 8 20....