数学

一、引言——拟合多项式 考虑如图所示的样本数据： 如果我们用一元线性回归去拟合该数据，会发现直线与数据点拟合效果很差。 通过观察，我们很容易得知数据点满足二次函数，具体地，函数是 $\frac{1}{2}x^2 + 5$。既然用直线 $y = wx + b$ 不能拟合，那么换用二次函数 $y = w_1x^2 + w_2x + b$ 拟合的话效果会如何？ 二、多项式回归的步骤 对于一元多项式函数 $$ y = w_1x + w_2x^2 + \cdots + w_nx^n + b $$ 令 $x^i = y_i$，则原函数变为 $$ y = w_1y_1 + w_2y_2 + \cdots + w_ny_n + b $$ 对于自变量 $x$，只需将 $x^2, x^3, \cdots, x^n$ 看成与 $x$ 不同的特征。此时一个一元多项式函数的拟合问题就转变成了我们已知的多元线性拟合问题。同理，对于多元多项式函数，也可以将其转化为多元线性函数进行拟合。 三、代码实现 对于如下样本： x = np.array(range(-1, 10)) y = (x ** 2) / 2 + 5 将 $x^2$ 也作为一个特征...

一、引言——参数数值对权重的影响 考虑有两个特征的房价预测。其一为房子面积，其二为卧室数量。参数的范围为 $$ x_1 \in [300, 2000] \\ x_2 \in [0, 5] $$ 预测直线为 $$ y = w_1x_1 + w_2x_2 + b $$ 从感性上认知，如果 $w_1$ 的数值大于 $w_2$，那么由特征 $x_1$ 贡献的房价就会远大于特征 $x_2$。因为这样的话，对于同等数值的变化，特征 $x_1$ 的贡献变化大于 $x_2$，而 $x_1$ 的范围又更大，则其对贡献的变化也会更加得大。这是很不合常理的。因此从感性上讲，$w_1$ 的数值应该小于 $w_2$。 另外，根据损失函数的定义 $$ J(\vec{w}, b) = \frac{1}{2m}\sum_{i=1}^{m}(\vec{w}\cdot\vec{x}^{(i)} + b - y^{(i)})^2 $$ 当损失函数值固定时，改变权重 $w_1$, 则对应的权重 $w_2$ 的变化要大于 $w_1$。从图像来说，此时损失函数形成陡峭的“山谷”，它的等高线图类似于椭圆。这时进行梯度下降，在步长较大时可能出现在“崖壁”上来回跳跃的情况。 为了避免这种情况，我们需要找到一种优化的方法。 二、特征缩放 我们要做的是避免出现不同特征的范围差距较大的情况。那么对于极差较大的特征，我们需要将其数值所在的区间范围缩小。这就是特征放缩。 在进行过特征放缩后，损失函数从图像上看将会较原来更接近正圆形，这样的话，寻找通向最低点的路径将会更加容易。 特征缩放有许多不同的方法，如： 除数特征缩放 均值归一化（Mean normalization） Z-score标准化（Z-score normalization） 除数特征缩放指的是将该特征的所有值同除以某一个数，比如说最大值。 $$ x_{scaled} = \frac{x}{x_{max}} $$ 均值归一化是以均值为参照对所有数值进行缩放，公式： $$ x_{scaled} = \frac{x - x_{mean}}{x_{max} - x_{min}} $$ Z-score标准化将数值转换为正态分布。公式： $$ x_{scaled} = \frac{x - \mu}{\sigma} $$ 其中 $$ \mu = \frac{1}{m}\sum_{i = 1}^m x^{(i)} \\ \sigma^2 = \frac{1}{m}\sum_{i = 1}^m (x^{(i)} - \mu)^2 $$ 三、代码实现 利用 Z-score 标准化对特征进行缩放...

一、引言——多特征的房价预测 现实中，某一变量并不一定只与单一变量有关。还以房价来举例，除了位置以外，房价还可能与房子面积、卧室数量、层数、房龄等因素有关。 面积 卧室数 层数 房龄 房价 2104 5 1 45 460 1416 3 2 40 232 1534 3 2 30 315 852 2 1 36 178 … … … … … 对于多个特征的情况，我们需要对之前的一元线性回归进行推广。但在此之前，需要先约定一下使用的符号： 和前面一样，这里将用 $x^{(i)}$ 表示第 i 组样本中的特征。 $y^{(i)}$ 表示第 i 组样本对应的目标结果。不同的是，对于第 j 个特征组，也就是第j个特征对应的数值的序列，采用 $x_{j}$ 表示。那么很自然的， $x^{(i)}_j$ 表示第 j 个特征中的第 i 个值，或者说表示第 i 组样本中的第 j 个特征。 与上文中的列表相结合进行理解，相当于 $x^{(i)}$ 表示第 i 行中非房价的部分，$x_{j}$ 则表示第 j 列中的数值。 要对多元特征进行拟合，也就是找到适当的 $w_1, w_2, ..., w_n$ 使得对任意的 i，有 $$ y^{(i)} = w_1 * x^{(i)}_1 + w_2 * x^{(i)}_2 + ....

一、引言——房价预测问题 问题： 假设我们知道一些房价与距离的对应关系，通过这些已知的信息，能否预测在一定范围内任意距离对应的房价？ 首先考虑最为简单的情况，也就是只有两个房价信息的情况。 如图所示，1km时对应房价为300，2km 时对应房价为500。很容易可以在这两点间连一条直线，这条直线就可以作为对房价的预测。这样用曲线对已知数据中的关系进行估计的方法称为拟合。 （注意，本文只考虑以一元线性函数进行拟合） 类似的，增加房价信息为三个点，如果三点共线，则该直线依然可以作为对房价的拟合。 但更可能的情况是三点不共线，对于更多的数据的情况则更是如此。这样的话要如何找到一条直线来拟合房价信息呢？ 二、损失函数 我们需要找到一种标准来衡量直线对已有信息的拟合程度。 假设当前直线为： $$ y = wx+b $$ 房子距离为 $x^{(1)},x^{(2)},x^{(3)}...,x^{(m)}$，对应的房价为 $y^{(1)},y^{(2)},y^{(3)}...,y^{(m)}$。 则对于每个距离 $x^{(i)}$，当前直线所预测的房价为: $$ \hat{y}^{(i)} = wx^{(i)} + b $$ 该房价与真正的房价的差距为 $$ d = |y^{(i)} - \hat{y}^{(i)}| $$ 绝对值不可导，不妨用平方来代替 $$ d_2 = (y^{(i)} - \hat{y}^{(i)})^2 $$ 对于每个已知的房价信息，当前直线的预测都可能会有偏差，将这些偏差求和得到总的偏差 $$ \sum_{i=1}^{m}(y^{(i)} - \hat{y}^{(i)})^2 $$ 为了排除样本数量不同对偏差的影响，将偏差总和除以样本数量 $$ \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(y^{(i)} - \hat{y}^{(i)})^2 $$ 这也就是总体方差的计算式： $$ \sigma^2 = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(y^{(i)} - \hat{y}^{(i)})^2 $$ 对于机器学习，我们将$\hat{y}^{(i)}$展开，并将方差除以2，得到一元线性回归的损失函数（loss function），即 $$ J(w, b) = \frac{1}{2m}\sum_{i=1}^{m}(y^{(i)} - wx^{(i)} - b)^2 $$ 在 $x^{(i)}$，$y^{(i)}$ 确定的情况下，损失函数是关于 $w$ 和 $b$ 的连续可导的二元函数。该函数可以用来衡量 $w，b$ 所确定的直线与已知数据之间的偏差。...